PROBLEMA 2.4

2.4 Obtenga los valores de la impedancia característica, la constante de atenuación, la constante de fase y la velocidad de fase de la línea bifilar de oro del ejercicio 2-2. Si la línea mide 1 km ¿Cuánto tiempo tardará una señal en viajar desde el generador hasta el extremo opuesto?

F	L	C	R	G
1 kHz	1.02 μH/m	0.1062 nF/m	3.881 m Ω/m	0.4005 nano mho/m
10 kHz	0.92 μH/m	0.1062 nF/m	6.949 x 10¹³ Ω /m	4.005 nano mho/m
1 MHz	0.92 μH/m	0.1062 nF/m	6.949 x 10¹⁴ Ω /m	4.005 x 10⁻⁴ mho/m

IMPEDANCIA CARACTERÍSTICA

Z₀ = √(R + jL) / (G + jC)

Para f = 1 kHz.

Z₀ = √ 3.881x10⁻³ + j(2π)(10³)(1.02x10⁻⁶) / 0.4005x10⁻⁹ + j(2π)(10³)(0.1062x10⁻⁹)

Z₀ = 87.836 – j87.781 Ω

Para f = 10 kHz.

Z₀ = √ 6.949x10¹³ + j(2π)(10⁴)(0.92x10⁻⁶) / 4.005x10⁻⁹ + j(2π)(10⁴)(0.1062x10⁻⁹)

Z₀ = 2282629954 – j2281036934

Para f = 1 MHz.

Z₀ = √ 6.949x10¹⁴ + j(2π)(10⁶)(0.92x10⁻⁶) / 4.005x10⁻⁴ + j(2π)(10⁶)(0.1062x10⁻⁹)

Z₀ = 2600.439 – j1471.976

CONSTANTE DE PROPAGACIÓN

γ = √(R + jwL) (G + jwC)

Para f = 1kHz

γ = √[3.881x10⁻³ + j(2π)(10³)(1.02x10⁻⁶) ][ 0.4005x10⁻⁹ + j(2π)(10³)(0.1062x10⁻⁹)]

γ = 1.921x10⁻⁵ + j6.802x10⁻⁵ 

Para f = 10kHz.

γ = √ [6.949x10¹³ + j(2π)(10⁴)(0.92x10⁻⁶) ][ 4.005x10⁻⁹ + j(2π)(10⁴)(0.1062x10⁻⁹)]

γ = 48.160 + j48.13

Para f = 1 MHz.

γ = √ [6.949x10¹⁴ + j(2π)(10⁶)(0.92x10⁻⁶) ] [4.005x10⁻⁴ + j(2π)(10⁶)(0.1062x10⁻⁹)]

γ = 63983.621 + j36217.883

α parte real de γ.

β parte real de γ.

VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN

Vp =ω / β = 2πf / β

Para  f = 1 kHz.

Vp = 2π x 10³ / 6.802x10⁻⁵ = 92372615.51 m/s

Para  f = 10 kHz.

Vp = 2π x 10⁴ / 48.13 = 1305.4613 m/s

Para  f = 1 MHz.  

Vp = 2π x 10⁶ / 36217.883 = 173.224 m/s

ANALIZANDO RESULTADOS

Conforme la frecuencia aumenta, su componente imaginaria tiende a 0 y la parte real tiende al mismo valor que se obtendría para una línea sin perdidas al hacer R y G = 0 Z₀ = √L/C, así mismo al aumentar la f, γp tiende al valor que tendría la velocidad de propagación en un medio con εr = 8.8 (oxido de aluminio) y sin perdidas.

V = c / √εr = 101129979.4 m/s

TIEMPO DE RETARDO

Td = l /Vp

Como l = 10³ m.

f	Td
1 kHz	10.825 µs
10 kHz	766.012 ms
1 MHz	5.772 s