Ejercicio 2-3

Ejercicio 2-3:

Se tiene un cable coaxial diseñado para funcionar a muy altas temperaturas, por ejemplo en cohetes, misiles y satélites. Las dimensiones de su corte transversal se muestran en la figura. El dieléctrico entre ambos conductores de cobre es porcelana y las paredes que hacen contacto con dicho dieléctrico están cubiertas de oro. Por simplicidad, considérese que la porcelana está distribuida uniformemente y que la corriente pelicular sólo fluye por las cubiertas de oro.

SOLUCIÓN

Primero se estimará la profundidad de penetración l para determinar la validez de que la corriente fluye en las cubiertas de oro solamente.

l⁴⁵⁹³¹⁰⁸⁷⁶²⁻πμΩ√√

l = √ 2 / (2πƒ) μσ = 1/√ƒ (10⁷ / (4π²)(4.10x 10⁷))

l = 0.078/√ƒ

A 100MHz,        l= 7.8 μm

A 1 GHz,            l= 2.466 μm

Para la porcelana εr = 6  tanδ= 14x10⁻³. La conductividad aproximada del dieléctrico a las frecuencias especificadas es:

σd = 2πƒεr ε0 tanδ =  2πƒ(6)(8.8542x10⁻¹²)(14x10⁻³) = 4.673ƒ x10⁻¹²

a 100 MHz,  σd = 0.0004673 S/m

a 1 GHz,       σd = 0.018692  S/m

Ahora

L = μ ln(b/a) / 2π = 4π x 10⁻⁷/2 π (ln(2.666)) = 0.196 μH/m (a 100MHz y a 1GHz)

C = 2πε /ln(b/a) =(2π)(6)( 8.8542x10⁻¹²)/0.9808 = 3.403 x10⁻¹⁰ F/m (a 100MHz y a 1GHz)

R = 1/(2π)(l)( 4.10x 10⁷) [(666.66 + 250)] = 3.558 x 10⁻⁶ / l

Para 100 MHz:     R = 3.558 x 10⁻⁶ / 7.8 x 10⁻⁶ = 0.456 Ω/m

Para 1 GHz:          R =  3.558 x 10⁻⁶ / 2.466 x 10⁻⁶ = 1.442 Ω/m

G =   2πσd / ln (b/a) =  2π(σd)/0.9808 = 6.4σd

Para 100 MHz: G = (6.4)( 0.0004673) = 2.99 mili mho/m

Para 1 GHz: G = (6.4)(0.018692) = 0.1196288 mho/m

Concentrando resultado.

f	L	C	R	G
100 MHz	0.196 μH/m	3.403 x10⁻¹⁰ F/m	0.456 Ω/m	2.99 mili mho/m
1 GHz	0.196 μH/m	3.403 x10⁻¹⁰ F/m	1.442 Ω/m	0.1196288 mho/m