Expoaición 4: 1.9-1.14

1.9 ONDA ESTACIONARIA DE VOLTAJE Y CORRIENTE.

La constante de propagación (a veces llamada el coeficiente de propagación) se utiliza para expresar la atenuación (pérdida de la señal) y el desplazamiento de fase por unidad de longitud de una línea de transmisión.

Conforme se propaga una onda, a lo largo de la línea de transmisión, su amplitud se reduce con la distancia viajada. La constante de propagación se utiliza para determinar la reducción en voltaje o corriente en la distancia conforme una onda se propaga a lo largo de la línea de transmisión. 

§La longitud de una línea de transmisión relativa a la longitud de onda que se propaga hacia abajo es una consideración importante, cuando se analiza el comportamiento de una línea de transmisión.

§A frecuencias bajas (longitudes de onda grandes), el voltaje a lo largo de la línea permanece relativamente constante.

§Sin embargo, para frecuencias altas varias longitudes de onda de la señal pueden estar presentes en la línea al mismo tiempo Por lo tanto, el voltaje a lo largo de la línea puede variar de manera apreciable. En consecuencia, la longitud de una línea de transmisión frecuentemente se da en longitudes de onda, en lugar de dimensiones lineales.

§Una línea de transmisión ordinaria es bidireccional; la potencia puede propagarse, igualmente bien, en ambas direcciones. El voltaje que se propaga, desde la fuente hacia la carga, se llama voltaje incidente, y el voltaje que se propaga, desde la carga hacia la fuente se llama voltaje reflejado. En forma similar, hay corrientes incidentes y reflejadas. En consecuencia, la potencia incidente se propaga hacia la carga y la potencia reflejada se propaga hacia la fuente.

§El voltaje y la corriente incidentes, siempre están en fase para una impedancia característica resistiva. Para una línea infinitamente larga, toda la potencia incidente se almacena por la línea y no hay potencia reflejada. Además, si la línea se termina en una carga totalmente resistiva, igual a la impedancia característica de la línea, la carga absorbe toda la potencia incidente (esto supone una línea sin pérdidas).

§La relación de onda estacionaria (SWR), se define como la relación del voltaje máximo con el voltaje mínimo, o de la corriente máxima con la corriente mínima de una onda.

La relación de onda estacionaria (SWR), se define como la relación del voltaje máximo con el voltaje mínimo, o de la corriente máxima con la corriente mínima de una onda. A ello también se llama relación de voltajes de onda estacionaria. (VSWR). En esencia es una medida de la falta de compensación entre la impedancia de carga y la impedancia característica de la línea de la línea de transmisión.

1.10 IMPEDANCIA CARACTERÍSTICA DE LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN.

§Se denomina impedancia característica de una línea de transmisión a la relación existente entre la diferencia de potencial aplicada y la corriente absorbida por la línea en el caso hipotético de que esta tenga una longitud infinita, o cuando aún siendo finita no existen reflexiones.

§En el caso de líneas reales, se cumple que la impedancia de las mismas permanece inalterable cuando son cargadas con elementos, generadores o receptores, cuya impedancia es igual a la impedancia característica.

§La impedancia característica es independiente de la frecuencia de la tensión aplicada y de la longitud de la línea, por lo que esta aparecerá como una carga resistiva y no se producirán reflexiones por desadaptación de impedancias, cuando se conecte a ella un generador con impedancia igual a su impedancia característica.

§De la misma forma, en el otro extremo de la línea esta aparecerá como un generador con impedancia interna resistiva y la transferencia de energía será máxima cuando se le conecte un receptor de su misma impedancia característica.

§No se oculta, por tanto, la importancia de que todos los elementos que componen un sistema de transmisión presenten en las partes conectadas a la línea impedancias idénticas a la impedancia característica de esta, para que no existan ondas reflejadas y el rendimiento del conjunto sea máximo.

§La impedancia característica de una línea de transmisión depende de los denominados parámetros primarios de la misma que son: resistencia, capacitancia, inductancia y conductancia (inversa de la resistencia de aislamiento entre los conductores que forman la línea).

§La fórmula que relaciona los anteriores parámetros y que determina la impedancia característica de la línea es:

§donde:

§Z0 = Impedancia característica en ohmios.
R = Resistencia de la línea en ohmios.
C = Capacitancia de la línea en faradios.
L = Inductancia de la línea en henrios.
G = Conductancia del dieléctrico en siemens.
ω = 2πf, siendo f la frecuencia en hercios
j = Factor imaginario .

1.11 LINEA DE TRANSMISIÓN TERMINADA EN UNA IMPEDANCIA DE CARGA.

Impedancia de entrada de una línea terminada con una carga arbitraria

Considérese una línea finita de longitud l como la de la fig. 2-19, conviene tomar al punto donde está la carga como z=0, por lo que el generador estará situado en z=-l.

Las ecuaciones  que describen  el comportamiento de las ondas totales de voltaje y corriente son las mismas a la de la onda total de voltaje y corriente en una línea desacoplada (2-29) y (2-30), pues la coordenada z crece en el mismo sentido que antes, de izquierda a derecha.

La impedancia Z vista hacia la derecha (en dirección hacia la carga) desde cualquier punto en la línea está dada, a partir de las ecs. (2-29) y (2-30), por:

Si z=-l, la impedancia de entrada Z_i⁽¹⁾ vista por el generador hacia la derecha, será  entonces:

Ahora bien, en z=0, donde está la carga Z_L de la ec. (2-31) se obtiene:

Al cociente B/A se le da el nombre de coeficiente de reflexión en el punto de carga. Se designa por la letra p y generalmente es una cantidad compleja.

Si el numerador y el denominador de la ec. (2-32) se dividen se tiene:

Esta ecuación permite calcular la impedancia de entrada de al línea si se conocen su longitud, su impedancia característica, la constante de propagación  y el coeficiente de reflexión p en el punto donde está la carga.

Otra ecuación alternativa, en función de la impedancia de carga en lugar  del coeficiente de reflexión, se puede obtener usando la ec. (2-33) y escribiendo la ec. (2-32) como:

Y al dividir numerador y denominador entre 2cosh, queda finalmente:

Recuérdese que las ecs. (2-34) y (2-35) dan el mismo resultado y se utilizan indistintamente, de acuerdo con los datos que se conozcan. Asimismo, si hubiese alguna preferencia especial por alguna  de ellas, siempre es fácil emplear la ec. (2-33) para encontrar el dato que faltase.

1.12 COEFICIENTE DE REFLEXIÓN DE LAS ONDAS DE VOLTAJE Y CORRIENTE.

A la relación de la amplitud de la onda reflejada para la onda incidente se llama Coeficiente de Reflexión (r) 

Para líneas sin pérdidas (a = 0) la solución se transforma en:

Como se ha visto en el grafico anterior, en Z = 0 (extremo de la carga)

Las ecuaciones anteriores se pueden escribir:

1.13 COEFICIENTE DE REFLEXIÓN DE LA POTENCIA

Un coeficiente de reflexión describe la amplitud (o la intensidad) de una onda reflejada respecto a la onda incidente. El coeficiente de reflexión está estrechamente relacionado con el coeficiente de transmisión.

Se define como la impedancia de entrada de la sección de línea del lado de la carga terminal del punto, cuando la porción de línea del lado del generador se ha eliminado.

La Z en cualquier punto de la línea será la razón entre la tensión y la corriente.

En el extremo terminal (z = l ), esta relación será igual a la Z_T. Esto implica:

El término 

          representa el valor fasorial en z = l , de una onda reflejada que avanza en dirección decreciente de Z.

Esta reflexión es función de la impedancia ZT.

1.14 IMPEDANCIA DE UN PUNTO DE LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN CON PÉRDIDAS, TERMINADA EN UNA IMPEDANCIA DE CARGA (ZL).

En los casos prácticos, las líneas se usan para transmitir energía por medio de ondas guiadas. Por

lo tanto es esencial minimizar las pérdidas de propagación. 

R << ωL       G << ωC

Lo que equivale a decir que la potencia de pérdidas es mucho menor que la potencia media almacenada en el campo electromagnético (que se propagará como una onda) en la línea.

Podemos aproximar en este caso las expresiones de γ y Z̥₀.

γ = β - i α = √-ZY = √ - (R + iωL)(G + iωC) = √ω²LC (1 – i/ωL)(1 – i/ωC )

Si despreciamos el término de orden superior  RG/ ω² LC  y luego desarrollamos en serie de Taylor para i(R/ωL + G/ωC), entonces:

β ≈ ω √LC         α ≈ β/2 (R/ωL + G/ωC) << β

De esta forma: Z̥₀ = Z̥₀’ + Z̥₀’’ con Z̥₀’ = √L/C      Z̥₀’’ ≈ Z̥₀’/2 (G/ωC  - R/ωL ) ≈ Z̥₀’

Elaborado por : Marco Alonso Jiménez